Download Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II: by Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut PDF

By Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Schellhaas

ISBN-10: 3835100300

ISBN-13: 9783835100305

Dieser zweite Band des Arbeitsbuches Mathematik für Ingenieure folgt in seinem Aufbau der bewährten Konzeption des Arbeitsbuches zur research: Nach einer Darstellung der Fakten werden diese durch ausführliche Bemerkungen ergänzend aufbereitet und erläutert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird das gewonnene Grundverständnis vertieft und über die angeschlossenen assessments und Übungsaufgaben überprüft und angewendet. Das Angebot an aktiver Beschäftigung des Lesers mit den Themen schafft somit die Grundlage für ein erfolgreiches Lernen und Arbeiten in den Gebieten Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik.

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Man nennt dieses Vorgehen ”Variablentausch”. Bei Differentialgleichungen erster Ordnung haben wir dies bereits kennengelernt (Methode VII in Kapitel 2). Die Umkehrfunktion existiert, wenn y(x) stetig differenzierbar mit einer von Null verschiedenen Ableitung ist. 7). Fu ¨ r die zweiten Ableitungen erh¨alt man mit Hilfe der Kettenregel 1 1 d d d (x (y)) = =− (y (x(y))) · 2 dy dy y (x(y)) y (x) dy 1 1 = −(x (y))3 · y (x) . =− · y (x) · 2 y (x) y (x) x (y) = Ist y(x) die L¨ osung des Anfangswertproblems (2), so ist also die Umkehrfunktion L¨ osung des Anfangswertproblems 4.

24 2. 2: Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung y = e−y/x + y x fu ¨ r x = 0. 3: Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y = −2 · y · cos x + cos x . 4: a) Bestimmen Sie alle Lo ¨sungen mit der Methode der Variation der Konstanten. 2. 1. 6: , y(0) = 0 . 7: 3 · y + 3 · (1 + x) 1+x 1 · y + 6x2 · y 5 . 2x a) Transformieren Sie diese Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung (vgl. 3). b) Bestimmen Sie die allgemeine Lo¨sung der Differentialgleichung fu ¨r x > 0.

Betrachtet werden also lineare Differentialgleichungen von folgender Gestalt L(y) ≡ y (n) + an−1 · y (n−1) + · · · + a1 · y + a0 · y = b(x) wobei a0 , a1 , . . , an−1 reelle Konstanten sind, und die St¨orfunktion b(x) auf einem Intervall I ⊂ R stetig ist. Wir nennen wieder die Differentialgleichung L(y) = 0 die zugeh¨ orige homogene Differentialgleichung. Bemerkung: (1) Die L¨ osungen der homogenen Differentialgleichung sind stets auf der gesamten reellen Achse definiert. F¨ ur die L¨ osungen der inhomogenen Gleichung allerdings kann die Definitionsmenge ein Teilintervall I sein; dies h¨ angt von der St¨ orfunktion b(x) ab.

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